scritto da Iaia

Ciao! In questo articolo di
Analisi Mateludica vorrei approfondire
Quarto, gioco astratto per 2 giocatori dalla durata di circa 20 minuti,
ideato nel 1991 dal matematico Blaise Muller.
I componenti principali del
gioco sono 16 pezzi, ognuno con quattro caratteristiche che lo definiscono,
come ad esempio altezza o colore. Ogni caratteristica è binaria e può quindi
avere solo due valori. Un pezzo potrà essere alto o basso, chiaro o scuro e
così via. Ogni giocatore, a turno, deve posizionare un pezzo che gli è stato
consegnato dall’avversario sulla scacchiera 4×4 presente nel gioco e il primo
giocatore che mette in fila quattro pezzi che abbiano una caratteristica in
comune è il vincitore. A questo link e
qui è possibile trovare delle recensioni
dettagliate.

I pezzi
Per prima cosa vorrei soffermarmi sulla parte fondamentale del gioco,
ovvero i 16 pezzi che andremo a posizionare durante una partita. Ognuno
di questi può essere rappresentato matematicamente in diversi modi.
Il
modo più semplice è quello di numerare ogni pezzo da 0 a 15, utilizzando la
scrittura decimale che usiamo solitamente.
Un altro modo
possibile è invece quello di sfruttare il sistema numerico binario.
Ogni pezzo ha quattro caratteristiche differenti: forma,
altezza, riempimento o colore. Ognuna di queste
caratteristiche si può presentare in due differenti modi. Si hanno queste
possibilità:

• Forma: tondo o quadrato;
• Altezza: basso o alto;
• Riempimento: cavo o pieno;
• Colore: chiaro o scuro.

Ogni caratteristica può essere rappresentata dai valori 0 e 1.
In questo modo si avranno:

• Forma: 0 o 1;
• Altezza: 0 o 1;
• Riempimento: 0 o 1;
• Colore: 0 o 1.

Ogni pezzo può essere di conseguenza rappresentato sfruttando la scrittura
binaria.
Per scrivere un numero tramite sistema numerico binario è
sufficiente conoscere le potenze e le divisioni. Per convertire un numero
n da base dieci (quella che si usa solitamente) a base due, si deve
dividere n per 2 fino a ottenere, come quoziente, 0, tenendo nota di
volta in volta dei resti. Riscrivendo i resti in ordine inverso a come sono
stati ricavati, otterremo la scrittura binaria di n.

Ad
esempio consideriamo n=11:
11 : 2 = 5 resto 1;
5 : 2 = 2
resto 1;
2 : 2 = 1 resto 0;
1 : 2 = 0 resto 1.
Considerando i
resti e leggendoli in ordine inverso avremo 11=(1011)₂.

Questa
notazione che presenta le parentesi è di solito usata per scrivere i numeri in
binario.
Di seguito ometterò le parentesi, perché tutti i numeri scritti
con quattro cifre saranno quelli scritti in base due. In particolare ogni
cifra del numero scritto in binario che rappresenta un pezzo del gioco
corrisponderà al valore della caratteristica a cui corrisponde.

Ad
esempio il pezzo quadrato, basso, cavo e scuro sarà rappresentato dal numero
1001.

Ricapitolando i pezzi di Quarto possono essere
rappresentati in due modi, utilizzando o la base dieci o la base due. Di
seguito riporto una possibile enumerazione dei vari pezzi, utilizzando come
ordine delle caratteristiche, per quanto riguarda il sistema binario, il
seguente:

• Forma (tondo=0, quadrato=1);
• Altezza (basso=0,
  alto=1);
• Riempimento (cavo=0, pieno=1);
• Colore (chiaro=0,
  scuro=1).

Successivamente ho rappresentato i pezzi anche tramite
scrittura decimale, convertendo i numeri dalla base due alla base dieci.

Per quanto questa procedura possa sembrare un esercizio inutile, poiché si hanno solo quattro caratteristiche, in realtà è un aiuto molto
importante per problemi di entità più elevata, in quanto si passa all’astratto
e, di fatto, generalizza un problema in modo da poterlo studiare con più
facilità a posteriori.

Una vittoria a Quarto corrisponde ad
avere in fila quattro pezzi, rappresentati tramite sistema numerico binario,
che abbiano almeno una delle quattro cifre, uguali.
Guardando la prima
immagine ad esempio si può notare come la prima fila dal basso comprenda tutti
pezzi bassi. In effetti la seconda cifra è sempre 0.

La scacchiera

Una domanda che mi sono fatta riguardo a questo gioco è: Perché sono state
scelte proprio quattro caratteristiche? Non potrebbe essere interessante
utilizzare più caratteristiche che siano comunque binarie e ottenere un gioco
analogo, considerando sempre una scacchiera che possa contenere tutti i
pezzi?
Penso che la scelta di utilizzare quattro caratteristiche non sia
stata casuale.

• Se si fossero scelte solo due caratteristiche, la plancia quadrata sarebbe
  stata soltanto di 4=2² caselle. Ma, in questo caso, ogni pezzo
  sarebbe stato adiacente a tutti gli altri e il gioco non avrebbe avuto
  senso.
• Se si fosse scelto di giocare con pezzi con 5 caratteristiche la
  scacchiera sarebbe stata di 2⁵=32 caselle. Purtroppo però
  nessun numero intero, moltiplicato per se stesso, restituisce 32. Questo
  significa che non è possibile fare una scacchiera quadrata con 32 caselle.
  Si sarebbe potuto utilizzare una eventuale griglia rettangolare di 4 e 8
  caselle per lato, ma a quel punto sarebbe stato un altro gioco.
• Il successivo numero di caratteristiche binarie affinché si ottenga una
  scacchiera quadrata è 6. Infatti 2⁶=64 ed effettivamente,
  64=8×8. In questo caso però la plancia sarebbe talmente grande e i pezzi
  tra cui scegliere talmente tanti che più che un gioco si avrebbe qualcosa
  di più simile a un esercizio matematico.

Sfruttando sempre il fatto che le caratteristiche sono binarie è possibile
rappresentare ogni pezzo del gioco come un
vettore di quattro componenti, i cui
valori possono essere o 0 o 1.
Di seguito per sfruttare la presenza di
vettori, introdurrò la definizione di matrice.

Una matrice è
una tabella composta da m×n numeri reali, disposti su
m righe e n colonne. Nel caso m sia uguale a n si
ha una matrice quadrata.

In questo caso, le matrici che andremo a considerare saranno quelle
corrispondenti alla composizione della plancia e avranno come valori o 0 o 1.
In particolare ogni matrice corrisponderà soltanto a una caratteristica.
Avremo quindi una matrice per la forma, una per l’altezza e così via.
Non
appena si avrà una matrice con quattro elementi uguali in una riga, colonna o
diagonale, si avrà un vincitore.
Giocare a Quarto quindi non
significa semplicemente riempire una matrice, ma quattro matrici in
contemporanea!

La partita nell’immagine precedente ad esempio potrà essere
rappresentata dalle seguenti matrici.
Per definizione le matrici non sono
mai vuote, neanche in parte. In questo caso ho riportato solo alcuni valori
delle matrici in quanto la scacchiera ancora presenta delle caselle vuote.

Il primo valore in alto a sinistra di ogni matrice corrisponde al
pezzo più in alto dell’immagine.
L’ordine delle matrici è: Forma,
Altezza, Riempimento e Colore.

Tuttavia questa rappresentazione non
è sufficiente. Ognuna di queste matrici è legata alle altre in quanto ogni
pezzo presenta tutte e quattro caratteristiche in contemporanea. Si dovrà
considerare quindi una struttura costituita da quattro matrici sovrapposte.
Ogni
pezzo corrisponderà quindi a un vettore che passa tutte le quattro matrici
nel verso profondità e posizionarlo significherà inserire ogni volta un altro
vettore in questa struttura.

Altri articoli

Una delle regole del Quarto classico è quella per cui ogni giocatore
posiziona il pezzo che l’avversario ha scelto. Quando si parla di
Quarto con twist, ci si riferisce al gioco in cui è presente
questa regola.
Considerato il vasto numero di articoli riguardanti
Quarto, sia riguardo alla versione con twist sia senza, mi sembra
giusto riportare quelli che ho ritenuto più interessanti.

In questo
articolo viene mostrata la strategia
vincente del secondo giocatore quando si tratta della versione senza twist.

La chiave della dimostrazione per questa strategia è quella della
dimostrazione per assurdo. Dopo aver deciso la strategia del secondo
giocatore, impostandone le mosse ad ogni turno a seconda delle mosse del primo
in modo che quest’ultimo non vinca mai, viene supposto che dopo le 16 mosse
possibili il secondo giocatore non abbia mai vinto. Questo darebbe luogo a un
pareggio, in quanto verrebbero riempite tutte le caselle senza un vincitore.
Nell’articolo viene dimostrato che partendo da questo assunto si ha una
contraddizione e quindi non può esistere un pareggio, ma solo la vittoria del
secondo giocatore.
Nell’appendice viene presentata una strategia che
permette al secondo giocatore di vincere al 99,99% contro un giocatore non
particolarmente attento e lasciando al primo giocatore la possibilità di
pareggiare (di questa non è riportata la dimostrazione).

Luc
Goosens dovrebbe avere dimostrato che, nella versione con il twist, se
entrambi i giocatori giocano al meglio delle loro possibilità, il gioco
finisce sempre in pareggio. Ho usato il condizionale, perché non sono riuscita
a trovare l’articolo in cui lo dimostra, pur essendo citato in diversi
altri articoli.

In questo
articolo vengono approfondite delle
strategie per il gioco con twist che tutti conosciamo. In particolare vengono
presentate due strategie:

• la strategia più semplice per cui si gioca consegnando all’altro giocatore
  pezzi sicuri che non lo facciano vincere e posizionando i propri pezzi
  casualmente a meno che non si abbia la mossa vincente;
• la strategia rischiosa per cui quando si deve posizionare un pezzo si
  predilige la costruzione di file di pezzi con la stessa caratteristica
  alla posizione casuale. Questa strategia è definita rischiosa, perché
  aumenta le possibilità di fare quarto anche all’avversario.

Tramite Python sono state implementate queste strategie per simulare
circa 10⁶ partite a Quarto. La strategia rischiosa
sembra portare a un numero di vittorie più alto rispetto a quella più
semplice.

In questo
articolo vengono fatte diverse
osservazioni riguardo al gioco. Anche qui ogni pezzo viene rappresentato in
base due e viene sfruttata questa scrittura per studiare quanti pezzi abbiano
una o più caratteristiche in comune con un singolo pezzo. Alla fine
dell’articolo c’è un’interessante osservazione riguardo alla connessione tra
le permutazioni della matrice della scacchiera (dove ogni elemento corrisponde
a un possibile pezzo, numerato da 0 a 15) e il Tesseract, ovvero
l’ipercubo in dimensione 4. In particolare si tratta della relazione tra
questa matrice e la rappresentazione tramite sistema numerico binario dei vari
pezzi.

Considerazioni finali

La semplicità del gioco, dai componenti alle regole, rende Quarto già
familiare nel momento in cui lo si mette sul tavolo, anche senza averlo mai
giocato. In più questo gioco utilizza il concetto familiare del tris (allineare dei simboli), che viene spesso rielaborato in vari modi. Basti
pensare all’applicazione Candy Crash oppure a
Pozioni Esplosive.

Quarto, anche col passare degli anni, penso rimanga un gioco sempre
sfidante, sia da giocare che da studiare.

Il gioco è lasciato al lettore.

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