[Qualche tempo fa, tramite il modulo di contatto, ci è arrivata la proposta, da parte di una studentessa di matematica dell’università di Bologna, di scrivere degli articoli su alcuni giochi da tavolo analizzati da un punto di vista matematico e fisico. Catturato dall’idea e d’accordo col capo Pinco, ho risposto a Iaia e iniziato con lei a inquadrare la faccenda. Ora vi lascio alle ipotesi, alle tesi e soprattutto alle sue dimostrazioni. Chi ha detto che la matematica è noiosa? Se volete che la rubrica continui lasciatele un commento! F/B!O P.]
Ciao a tutti! Il protagonista di questa prima puntata è VektoRace, un titolo di corse automobilistiche da 2 a 4 giocatori. Si tratta di un gioco deterministico in cui quattro piloti si sfidano a colpi di vettori e il primo che taglierà il traguardo con la sua F8 (questo il nome delle macchine che gareggiano nel gioco) vincerà. Il tutto in salsa ottagonale. Una recensione completa è presente qui.
Racetrack, alle origini di VektoRace
VektoRace prende spunto da un gioco per carta e penna, conosciuto con differenti nomi, le cui regole vengono trascritte per la prima volta nel 1973 da Martin Gardner, famoso matematico autore di “Enigmi e giochi matematici” e altre rubriche, sotto il nome di Racetrack.
Per iniziare a giocare è necessario innanzitutto disegnare una pista su un foglio a quadretti. Per chiarezza conviene che ogni giocatore utilizzi una penna di un colore differente. Ad ogni turno il giocatore muove la macchina seguendo le regole e il giocatore la cui macchina taglia per primo il traguardo è dichiarato vincitore.
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| Un vettore di coordinate (3,2) |
Prima di elencare queste regole è necessario introdurre la nozione di vettori e cosa sia la loro somma:
Un vettore in due dimensioni (come quelli che si usano in questo gioco) è una coppia di numeri che indica la posizione di un punto su una griglia.
Tipicamente è disegnato tramite una freccia che parte dall’origine del piano, definita dalla coppia (0,0), e che termina nel punto le cui le coordinate sono effettivamente descritte dal vettore.
Chiunque abbia giocato già a Battaglia navale conosce e ha utilizzato i vettori bidimensionali.
Si può definire la somma tra due vettori come un nuovo vettore. Questo avrà come prima componente la somma delle prime componenti dei due vettori e come seconda componente la somma delle seconde componenti di due vettori. Dove, dato un vettore bidimensionale (a,b) si intende come prima componente a e b come seconda componente.
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| Il vettore rosso di componenti (1,2) viene sommato al vettore azzurro (2,1). Il nuovo vettore colorato di nero sarà quindi (1+2,2+1) = (3,3). |
In Racetrack si hanno tre regole principali.
- Una macchina può spostarsi sommando il vettore posizione in cui si trova con uno tra i vettori: (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0). Questo di fatto significa che è necessario prevedere quali mosse si faranno durante tutta la gara.
- La riga che viene tracciata per spostare la macchina da una posizione a quella successiva deve essere completamente contenuta nella pista.
- Due macchine non possono occupare lo stesso punto sulla griglia.
VektoRace mantiene l’idea dei vettori e il fatto che, ad ogni turno, la marcia utilizzata dipenda da quella precedente: infatti senza ricorrere al boost si può scalare soltanto di una marcia.
Il gioco utilizza degli appositi componenti in cartone (chiamati vettori marcia) ed è completamente basato sulla figura geometrica dell’ottagono, scatola ottagonale compresa.
Le macchine infatti sono costruite su degli ottagoni di cartone e i vettori marcia utilizzano anch’essi questa figura geometrica.
Un altro punto cardine del gioco è il fatto che non esista una plancia visibile su cui vengono posizionate le macchine. Vedremo ora, per come è stato studiato il gioco, il perché tale plancia non possa esistere.
L’ottagono
La maggior parte dei giochi da tavolo utilizza come figure geometriche il quadrato o l’esagono, mentre la figura geometrica principe di questo gioco è l’ottagono regolare, un poligono con 8 lati i cui angoli sono tutti della stessa ampiezza.
Una delle principali differenze tra queste figure è che, diversamente dai quadrati e dagli esagoni, non è possibile ricoprire il piano con degli ottagoni, a meno di effettuare delle sovrapposizioni.
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| Con quadrati o esagoni è possibile ricoprire una porzione di piano, mentre tramite ottagoni non sovrapposti si avranno sempre dei “buchi”. |
La natura geometrica del gioco
Verso la fine del regolamento c’è scritto: “la natura geometrica del gioco non dovrebbe consentire alle auto di assumere posizioni innaturali rispetto alla regola di curvatura a 45°“.
Alcuni, leggendo questa frase, potrebbero avere dubbi riguardo alla sua veridicità, a causa dell’assenza della plancia. Dimostriamo ora che tale frase è stata scritta con cognizione di causa.
Il movimento
Per questa dimostrazione è necessario entrare più nel dettaglio riguardo al movimento in VektoRace. In questo gioco sono presenti, come accennato precedentemente, 5 differenti vettori marcia.
Ogni vettore è costruito come quello in figura.
L’ottagono iniziale riporta una freccia verde, che servirà come indicazione sul dove è possibile posizionare la macchina. La parte centrale riporta i simboli dei possibili boost utilizzabili essendo in quella marcia e la terza parte riporta un numero (la marcia che rappresenta quel vettore) e delle frecce. Tali frecce indicano le possibili posizioni e rotazioni che può assumere al termine del movimento la F8.
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| Il vettore che rappresenta la terza marcia |
Durante il proprio turno il giocatore posiziona davanti alla F8 il vettore marcia scelto nel turno precedente, in una delle tre possibili posizioni, rappresentate dalla freccia verde all’inizio del vettore marcia: esattamente davanti alla macchina, a destra o a sinistra di questa.
Successivamente la F8 viene posta al termine del vettore, con la direzione della parte frontale della macchina scelta a seconda delle frecce riportate in una delle possibili posizioni.
Ad esempio, se si vuole usare la terza marcia è possibile posizionare la macchina di fronte al vettore ruotata di -45°, 0° o 45°.
È possibile anche utilizzare il boost, posizionando uno dei vettori riportati sulla marcia che si sta utilizzando (nel caso della figura si potranno usare il boost da 1 o da 2) esattamente davanti al vettore marcia che si sta considerando. I vettori boost sono riportati sul retro dei vettori marcia.
Infine il giocatore sceglie il vettore marcia da utilizzare al turno dopo, scalando di una marcia oppure mantenendo la stessa (a seconda anche del fatto che si usino punti nitro o meno).
Dimostrazione
Nota: Durante tutta la dimostrazione le immagini riporteranno una griglia a quadrati su cui poggiano le macchine, per rendere più immediate le spiegazioni.
La tesi che vogliamo dimostrare è quindi la seguente:
“Al termine di qualsiasi movimento possibile, l’auto non assume mai una posizione innaturale rispetto alla regola di curvatura a 45°”. Questo vuol dire che, dopo aver compiuto una qualsiasi manovra, la parte frontale dell’auto sarà sempre parallela o ruotata di multipli di 45° rispetto a com’era in partenza.
Per prima cosa ci soffermiamo sul termine qualsiasi movimento. Considerando tutte le manovre possibili che una macchina può effettuare, compreso l’utilizzo del boost e le diverse rotazioni che la macchina può assumere al termine del movimento, si hanno ben 333 possibili movimenti.
Infatti, considerando solo i movimenti che si possono compiere posizionando il vettore marcia precisamente davanti alla macchina (come mostrato nella figura precedente) si hanno le seguenti possibilità:
- in prima marcia 9 movimenti dati dalle possibili frecce;
- in seconda 20 (le 13 possibili frecce presenti sul vettore movimento da 2 sommate alle 7 frecce presenti nel boost sul retro della prima marcia) e così via.
Il tutto deve essere poi moltiplicato per tre volte per considerare anche i movimenti dati dal fatto di posizionare il vettore marcia sul lato destro o sinistro della F8. Si ha quindi:
[(9) + (13+7) + (13+7+5) + (13+7+5+3) + (13+7+5+3+1)] × 3 = 111 × 3 = 333
Ora osserviamo una caratteristica fondamentale degli ottagoni presenti in VektoRace, che ci aiuterà nella dimostrazione: queste figure sono invarianti per rotazioni di multipli di 45°. Ciò vuol dire che, ruotando la macchina e seguendo le possibili direzioni che può assumere al termine del movimento, l’ottagono che si va a coprire sarà sempre lo stesso.
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| Alcune delle possibili rotazioni di un ottagono: le caselle occupate sono sempre le stesse. |
Possiamo quindi diminuire il numero di movimenti da considerare, in quanto è sufficiente controllare una volta per ogni lato accanto al quale la nostra macchina può terminare il proprio movimento.
[(3) + (5+3) + (5+3+3) + (5+3+3+1) + (5+3+3+1+1)] × 3 = 47 × 3 = 141
141 verifiche da fare direttamente sono comunque troppe.
A questo punto entra in gioco uno strumento matematico utilizzato molto spesso: la dimostrazione per induzione.
La dimostrazione per induzione
È una tecnica che viene utilizzata per dimostrare una certa proprietà P(n) per ogni numero naturale n=1,2,3… sfruttando la riconducibilità di un caso n-esimo a quelli precedenti.
Per applicarla sono necessari due passaggi:
- dimostrare la proprietà per n=0 o comunque per il primo caso che si considera, come in questa dimostrazione;
- supporre vero per induzione che la proprietà valga per un certo numero naturale n (o tutti i numeri naturali minori di n, a seconda della dimostrazione che si vuol fare) e dimostrare la proprietà per n+1.
Per prima cosa quindi consideriamo il punto 1.
Caso: n=1
Vogliamo dimostrare la tesi per il primo caso, ovvero per la prima marcia.
Per farlo è sufficiente mostrarlo caso per caso. Anche se il vettore di movimento della prima marcia ha 3 possibili posizioni finali (a meno di rotazioni), noi lo mostreremo lo stesso per tutti i 5 lati, in quanto ci servirà successivamente. Questo numero deve comunque essere moltiplicato per tre per le possibili posizioni che il vettore può avere rispetto alla F8. In totale avremo quindi 15 verifiche dirette da fare.
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| Le figure mostrano come, utilizzando il vettore della prima marcia e data una macchina che parte all’interno della griglia, il movimento terminerà sempre all’interno di essa. L’ultima figura non riporta una manovra permessa dal gioco, ma serve per la dimostrazione. Non vengono riportate tutte le possibili 15 manovre per motivi di spazio. |
Osservazione
Per applicare l’induzione è necessario prima fare un’altra osservazione. Per come è stato costruito il gioco, a meno di rotazioni, ogni manovra di movimento, comprese quelle che utilizzano il boost, può essere “composta” mettendo uno davanti all’altro più vettori, la cui lunghezza è la stessa del movimento che si vuole effettuare.
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| Il vettore inerente alla quinta marcia può essere composto dai vettori di seconda e terza oppure quarta e prima. |
Caso: n+1
Vogliamo ora lavorare sul secondo punto della dimostrazione per induzione.
Supponiamo vera la tesi per tutti i vettori di marcia minore o uguale ad n e dimostriamola per un vettore di marcia n+1.
Basandosi sull’osservazione precedente è possibile considerare una qualsiasi manovra fattibile, compresi quelli dati dai boost, come “somma” di vettori marcia di lunghezza minore di quella che si sta considerando. È sufficiente perciò ricondursi a vettori marcia per cui sappiamo essere valida la tesi per applicare movimenti successivi e terminare il movimento sulla griglia.
Consideriamo ad esempio la terza marcia. Sappiamo per ipotesi di induzione che, se una macchina compie una manovra in prima o seconda marcia, terminerà il proprio movimento soddisfacendo la regola della curvatura a 45°.
Se non viene utilizzato il boost sarà possibile muoversi in seconda marcia (per ipotesi la tesi è verificata per la seconda marcia) e poi muoversi in prima (per ipotesi la tesi è verificata per la prima marcia).
Analogamente, nel caso venga usato ad esempio il boost in seconda marcia, è possibile “comporre” la manovra come due movimenti in seconda marcia e uno in prima.
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| Terza marcia più boost visto come seconda più seconda più prima. |
In conclusione:
Sfruttando la caratteristica della rotazione per gli ottagoni abbiamo verificato direttamente i 15 casi in cui una macchina, compiendo un movimento in prima marcia, verifica la tesi.
Sfruttando la proprietà che ogni vettore marcia può essere scritto come somma dei precedenti abbiamo dimostrato che, utilizzando l’ipotesi di induzione, dopo aver terminato qualsiasi possibile movimento una F8 terminerà il proprio movimento seguendo la regola di curvatura a 45°.
Così la tesi è dimostrata.
Si noti che in questo modo la tesi è dimostrata non soltanto per i movimenti permessi dal regolamento, ma anche per una qualsiasi eventuale marcia successiva. In effetti, per come abbiamo spiegato la dimostrazione per induzione, questa serve per dimostrare una proprietà per ogni numero naturale.
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| Ecco come potrebbe essere composto un vettore di un’eventuale sesta marcia. |
Nota
All’inizio le F8 devono essere posizionate a partire da un vettore speciale che assicura fin dalla griglia di partenza le auto rispettino la regola di curvatura a 45°. Questo setup è necessario affinché la tesi sia rispettata.
Considerazioni finali
È possibile che qualcuno reputi VektoRace un gioco senza una forte componente matematica, in quanto non vi sono calcoli complessi da fare o una quantità immensa di numeri da tenere d’occhio.
Una cosa non implica automaticamente l’altra e questo gioco può essere un esempio.
In effetti, per com’è strutturato (dall’utilizzo di una specifica forma geometrica che non consente l’uso di una plancia, al fatto che i vettori marcia siano costruiti in un certo modo), questo gioco sfrutta molteplici nozioni matematiche per restituire ai giocatori un’esperienza che, a mio parere, non ha niente a che fare con la “pesantezza” che di solito viene percepita quando si parla di matematica.
Mi sono accorta che spesso i teoremi più lunghi e complessi da dimostrare sono quelli che hanno una tesi di poche parole, ma che poi risultano punto cardine di svariate teorie.
Per questo motivo non si fa fatica a ricordare l’enunciato.
La stessa sensazione di semplicità ben studiata l’ho provata in VektoRace, che – senza usare numeri o calcoli complessi – risulta essere un gioco dalla forte presenza matematica.
Il gioco è lasciato al lettore.
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