Ciao! In questa puntata di Analisi Mateludica vorrei prendere in considerazione Dobble (Asmodee/Asterion), gioco da 2 a 8 giocatori della durata di 15 minuti. In questo famoso party game si devono avere i riflessi migliori per essere i primi a riconoscere l’unico simbolo in comune tra due carte. Una recensione approfondita si può trovare a questo link.
Non avendo una copia del gioco, non ne ho mai scritto, pur avendolo giocato spesso. Ho rimediato procurandomi la versione Dobble Beach con simboli inerenti al mare e alle spiagge (ombrelloni, sdraio e quant’altro) e con carte plastificate, perfette da portare in spiaggia.
Il piano
La branca della matematica tramite cui vorrei approfondire questo gioco è la Geometria, in particolare considerando i piani.
Per capire a cosa ci si riferisce parlando di piani, potrebbe aiutare accennare al piano cartesiano. Molto probabilmente tutti hanno avuto a che fare con un piano cartesiano. Esso è un sistema di riferimento basato sulle coordinate cartesiane. Tramite due parametri che danno luogo a una coppia (ordinata, nel senso che non è indifferente la posizione dei due parametri) riusciamo a indicare ogni punto del piano.
In questa immagine si hanno due punti, A e B. Il punto A è indicato dalla coppia (1, 2,5) mentre il punto B dalla coppia (0,25, 1,28). Il piano che si considera nell’esempio comprende infiniti punti e lo si può intuire dal fatto che i punti scelti comprendono coordinate di valori che siano numeri decimali e non solo interi. In effetti, nel piano cartesiano ogni asse rappresenta la retta reale e quindi comprende numeri decimali, razionali e irrazionali.
Gli esempi riportati sopra riguardano piani infiniti e finiti, in particolare rispetto alla loro parametrizzazione (ovvero a come è possibile “nominare” in modo univoco ciascun punto).
Per capire la matematica presente in Dobble, però, è necessario focalizzarsi sulla struttura stessa del piano e non tanto su come si identifichino i punti presenti in esso (cosa sempre utile per poter visualizzare un piano).
La definizione di piano è stata “modernizzata” col passare del tempo. Inizialmente Euclide ha presentato nei suoi “Elementi” degli assiomi, dei principi dati per veri, che stanno in cima alla costruzione della geometria. Lo studio della geometria ha poi aperto la strada a nuovi orizzonti e quella euclidea non è ormai più l’unica geometria possibile. Il piano studiato alle superiori e quello a cui spesso ci si riferisce è quello euclideo, le cui “regole” sono intuitive. Per questo motivo ci si riferisce di solito a piano o piano euclideo indistintamente.
Come accennato in precedenza, un piano è formato da un numero finito o infinito di punti che non hanno alcuna dimensione. Questi punti possono essere “connessi” da delle rette che li incontrano e che non terminano mai.
Queste due entità, considerando il piano euclideo, soddisfano alcune importanti proprietà:
- presi due punti distinti del piano esiste un’unica retta passante tra essi;
- prese due rette qualsiasi queste sono parallele o si incontrano in un unico punto.
Nell’immagine precedente si hanno due punti A e B, connessi dalla retta f che incontra le rette h e g. Queste ultime invece sono tra loro parallele e per questo non si incontreranno mai.
Ora si può passare a Dobble. In questo caso le rette sono rappresentate dai simboli presenti sulla carta, mentre i punti saranno le carte stesse.
La carta presa da esempio può essere visualizzata come un punto da cui partono diverse rette, ognuna inerente a un simbolo.
Allo stesso modo è possibile visualizzare due carte come un insieme di punti e rette. Per semplicità ho colorato ogni retta associata a un diverso simbolo con colori differenti, per accentuare il fatto che si stanno considerando sempre rette differenti.
Come si può vedere c’è un’unica retta che incontra i due punti. Questa è la retta associata al simbolo della palma, che è effettivamente l’unico simbolo ripetuto in entrambe le carte.
Per le proprietà del piano appena considerato due rette possono essere parallele. Potrebbe accadere quindi una configurazione del genere.
Esso è definito da queste proprietà:
- presi due punti distinti del piano esiste un’unica retta passante tra essi;
- prese due rette qualsiasi esse si incontrano in un unico punto.
Ma allora che fine fanno le rette parallele? Per definire il piano proiettivo vengono aggiunti i cosiddetti punti all’infinito. Le rette che prima erano parallele tra loro si incontrano ora “all’infinito”.
Tutto questo è molto bello (dipende dai gusti in realtà), ma, di fatto, come si fa a sapere quante carte servono per comporre un gioco del genere?
Tornando alla definizione di piano proiettivo, si ha che ognuno di essi ha una caratteristica, detta ordine. Si denoti tale ordine con n. Si può dimostrare che ogni piano proiettivo di ordine n possiede le seguenti caratteristiche:
- nel piano si hanno n2+n+1 punti;
- nel piano si hanno n2+n+1 rette;
- su ogni retta si trovano n+1 punti;
- attraverso ogni punto passano n+1 rette.
Dato un n iniziale si possono quindi ricavare gli altri numeri. Nel caso del piano di Fano n=2.
In più i simboli in totale sono 57, proprio come il numero di rette.
Questo numero ci assicura che ogni due carte abbiano in comune un solo simbolo.
Considerazioni finali
Mi piace molto giocare a Dobble e il fatto che questo gioco si fondi sulla struttura del piano proiettivo, di cui sicuramente non si sente parlare tutti i giorni, è una cosa in più. Sinceramente sarei curiosa di sapere se questa è una conseguenza o se il piano proiettivo è stato considerato fin dal concepimento dell’idea del gioco. Con un numero minimo di carte, senza conoscere a priori i numeri “caratteristici” del piano proiettivo, si possono avere comunque delle carte che abbiano un unico simbolo in comune due a due.
Ad esempio sarebbe possibile, con 7 carte, fare un gioco come Dobble senza avere la necessità di un algoritmo. Infatti in questo caso ogni carta avrebbe “solo” 3 simboli e certo occorrerebbe un po’ di tempo, ma si riuscirebbe a trovare la configurazione esatta anche manualmente.
Aumentando il numero di carte è conveniente però trovare un algoritmo iterativo adatto, che ad ogni passo verifichi tutte le condizioni del gioco. Stabilendo a priori l’ordine del piano proiettivo, si ha la sicurezza di avere effettivamente un algoritmo finito e che quindi prima o poi termini con una soluzione.
Infine volevo segnalare una curiosità riguardo alla geometria non euclidea a cui ho accennato in precedenza.
Il gioco è lasciato al lettore.
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